년 수능 수학 해설 6번 미분계수의 기하학적 의미 접선의 기울기 탄젠트의 정의

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오늘은 외우면 가장 쉽지만 그 전까지는 이게 왜 그런지 너어어무 어려운! 삼각함수의 미분에 대해서 정리해보려고합니당 일단 기본적인 공식들은 외워두는 게 좋겠죠?

함수의 직교성은 벡터의 직교성으로 이해할 수 있다

즉, yx와 yln1+x가 x0일 때, 같은 값으로 수렴한다는 것을 의미하죠

또, yex-1의 그래프도 마찬가지고요

여기서 양 변을 2곱해주고 r으로 나눠주면 아래와 같이 됩니다.모두 양수이므로 부등호 방향이 바뀌지 않아요

인데 tan0 0, tan /4 1 이므로 다음 결과를 얻습니다

굳이 수식으로 증명하자면 아래와 같이 원과 부채꼴과 직각삼각형을 이용하는 경우가 많습니다

교과서 중심적으로 공부하는 것이 가장 중요하다. 각 단원별 예제들을 중점적으로 반복학습을 하고, 교과서내의 있는 모든문제들은 빠짐없이 풀어봐야 한다. 동대부고 시험자체가 이과라 하더라도 난이도가 높지 않기에, 교과서 중점적인 반복학습이 가장 중요하다

이것을 조금 더 자세히 들여다보면 분수의 결과가 1이죠?

마지막으로 라는 변수를 x로 바꿔주고 x가 0으로 갈 때, 리미트를 붙여주면 리미트를 붙이면 등호가 생기죠

4 식 4 에 h 1 h1 을 곱해주면 임의의 a 1 , b 1 a1,b1 에 대해 성립해야 하므로 아래 sin, cos 관계가 삼각형의 크기에 관계없이 항상 성립해야 한다

의 값을 구해볼까요? 보통은 x tan 로 삼각치환해서 구하지만 여기서는 역함수를 이용해서 구해보겠습니다. 사실은 같은 내용을 다르게 표현한 것에 지나지 않습니다

그럼 이제 왜 위와 같이 나오는지는 아래서 알아볼텐데요

수식으로 나타내면 아래처럼 표현할 수 있죠

22 기하학과 2 차원 좌표계를 이용하면 사인과 코사인 함수의 관계를 아래와 같이 얻을 수 있다

15 증명 식 14 의 위쪽 두 개 식에 a , b a,b 를 각각 곱하면 다음을 얻을 수 있다

그림 5 삼각 함수의 확장 출처 wikipedia.org 식 6 과 같은 원의 방정식을 이용하면 삼각 함수 개념을 그림 5 와 같이 확장할 수 있다 . 삼각 함수는 더이상 식 1 과 같은 길이로 정의하지 않고 좌표계를 이용하여 식 8 과 같이 정의한다

삼각함수의 역함수를 역삼각함수라 하는데 이는 고등학교 과정 밖입니다

이것도 그래프는 자명합니다. 도함수와 함께 그려보겠습니다

사인 함수의 역함수는 다음과 같이 표기합니다

3 여기서 식 3 의 둘째식은 첫째식을 전개한 후 식 2 의 피타고라스 정리를 대입하여 얻었다 . 식 3 의 마지막 결과와 식 2 를 서로 빼주면 항등식 4 를 얻을 수 있다

간단히는 이렇게! 자세한 풀이는 민수쌤의 판서와 함께 그리구 이 미분을 통해서 끌어낼 수 있는 공식도 있었는데요, 탄젠트와 시컨트의 관계, 그리고 코탄젠트와 코시컨트의 관계가 있었죠!

지난 파트에서 로그와 지수함수의 극한의 값을 배웠었죠?

1 여기서 hypotenuse, adjacent, opposite 은 보통 빗변 , 밑변 , 높이로 부른다

그리고 먼저 fxsinx 라고 놓고 정말 도함수의 꼴을 극한에서 만들어보도록 할게요

당연히 삼각형 OAB 부채꼴 OAB 삼각형 OAC 입니다

하지만 정의역을 적당히 제한하면 역함수를 정의할 수 있습니다. 가령 사인 함수를 -/2 x /2에서 정의하면 증가함수가 되므로 역함수가 존재합니다

18 또한 , 식 11 의 관계식으로 인해 함수 sec, tan 는 직각 삼각형을 그림 7 과 같이 이룬다 . 다시 그림 7 을 보면 함수 sec 는 원을 뚫고 나오고 있다 . 즉 , 자르는 선인 할선이 된다

너무 많으니 sinx과 tanx와 secx 이 세가지만 해볼게요

물론 여기서 sinh나 cosh는 하이퍼볼릭함수가 아닙니다

단원내용이 어렵기에 아무리 교과서라 할지라도 중위권의 학생들은 학습하기가 쉽지 않을수 있으니 시험기간에 임박해서 공부하면 무조건 낭패를 볼수 있으니, 평소에 수학에 대한 학습량을 꾸준히 갖는다면 내신대비는 큰 어려움이 없이 해결할 수 있을 것이다

16 식 14 의 세번째 식에 c c 를 곱한 후 식 16 을 대입하면 식 15 가 증명된다

여기서 하나 도움이 될만한 팁은 탄젠트&시컨트 / 코탄젠트&코시컨트 이렇게 짝을 지어서 외우면 식 하나만 외워도 자리만 바꿔넣으면 공식으로 사용가능! 자주 헷갈리고 잘 외우다가도 헉! 이게뭐지?! 하는 경우가 많은 부분이다 보니까 꼼꼼히 잘 외워두도록 합시다

역시 마찬가지로 사인함수나 탄젠트함수나 yx의 그래프나 x가 0으로 가까이 가면 점점 값이 같아져가고 있는 것을 알 수 있죠

학생들이 다양한 유형의 문제들을 풀 수 있도록 교과서 및 많은 문제를 연습해야 하며, 도형의 경우 중학교 내용을 반드시 숙지하고, 연습하는 것이 매우 중요하겠다

간단히 수식으로만 정리하면 이렇게! 그리고 마찬가지로 기본이긴 하지만 아주 기본은 아닌! 삼각함수의 미분에 대해서도 정리해볼게요

그럼 이번엔 ysinx과 yx와 ytanx를 비교해볼게요

초록색의 로그함수나 파란색의 지수함수나 x으로 가까이 가면 갈 수록 yx와 같아집니다

내용이 도움이 되었으면 공감을, 의문이 있으면 댓글을 부탁드립니다

12 증명 그림 6 과 같은 법선 , normal 을 가진 삼각형을 고려하면 아래 관계식이 항상 성립한다

삼각형 OAB와 부채꼴 OAB와 직각삼각형 OAC의 넓이를 비교해봅시다

모든 삼각함수는 증가함수나 감소함수가 아니고 주기함수입니다. 그러므로 그 자체로는 역함수가 존재할 수가 없지요

사실 이 짓을 하지 않으려고 위에서 기하적으로 직관적 증명을 하려고 했지만 그래도 한번쯤은 하는게 더 좋겠죠

세제곱 정리를 발견한 피타고라스는 어떤 인물이었을까?

그 그래프는 사인 함수의 역함수이므로 쉽게 예상할 수 있습니다

우선 예전에 삼각함수의 제곱관계공식에서 sec xtan x+1이라고 배운 것 기억하시나요?

그리고 모두 역수취하면 부등호의 방향은 전부 바뀝니다

따라서 g1/2 2/33. 아니면 sin/6 1/2 에서 g1/2 /6 임을 이용하여 직접 g1/2를 구할 수도 있습니다

그림 7 원으로 정의한 삼각 함수들 출처 wikipedia.org 함수 sec 는 원에 접선인 tan 가 x x 축과 만나는 점까지의 길이이다 . 이 관계는 식 6 에 있는 접선의 방정식을 식 18 로 쓰면 명확히 보인다

라는 결론이며 아래와 같이 외워두는 것이 문제푸는 것에 더욱 도움이 되겠죠

1
cos
r
tan
it
profile 향이 |
모르는걸좀알거같네요감사합니다
profile 고민을들어주는푸 |
오! 감사해여. 이런 정보는 처음보네요!
profile 박사영감 |
오 정말 감사합니다.이렇게 이해가 잘될줄이야 감사해요
profile ㄹㅇㄹㄴ |
지금 고2인데 내년에 수능볼때 쓸려고 하는데 개정된버전으로 나온건가요? 구버전이라고 써있어서. 그리고 그.공식써있는건 알겠는데 그 외운걸 체크해보고 싶어서 그러는데 그런 페이지도 있나요? 예를들면 싸인 미분하면? 하고 빈칸으로 되있고 이런식으로요
profile 도세윤 |
맞습니다. 포스팅에 오류가 있었네요. 도움을 주셔서 감사합니다
profile 마지막 |
배각공식은 덧셈정리에 같은수를넣엇다고 생각하면 됩니다
profile ㄹㅇㄹㄴ |
선생님 이것좀 풀어주세요
profile SperoSpera |
예를들어 문제상황이 바뀌었다고 생각해본 겁니다
profile 러드 |
문제 2-2의 풀이 및 해설 의 애니메이션에서 a값 구하는 중에 보면 by h10 라고 적혀 있는데 이게 아래와 같이 되어야 하지 않을까요? by hx0 at x1
profile |
아 예전에 잠깜 미적분의 달인이라 불리웠는데.지금 다 까먹었어요
profile aaa21c |
저도 khe022님 말씀처럼 똑같이 이해가 안가는데 설명해주실수 있나요
profile 엘더 |
순간 헷갈렸네요. 답변 감사합니다. 숫자는 호모함이 없어 화끈한데, 인간의 언어는 모호해서 해석을 잘못하면 본질을 알아보는 안목을 숫자에게서 도움 받아야겠죠
profile 러드 |
감사합니다 고등 문과가 교차지원으로 공과대 입학후 미적분 파트를 제대로 배우지 않아 학업에 어려움이 상당히 있었는데 보고 도움 많이 받고 갑니다 자주 들려 공유해 주신 자료 참고 하고 갈게요 공감꾹 눌리고 갑니다 !
profile 고2학생 |
으아 정말 감사합니다!이해했어요정말 감사해요!