곡선의 길이 공식 설명을 통한 이해

수학공부의 의욕에는 긍정적 효과가 있다

그리고 x, y를 t에 대한 식으로 치환하여 z를 t에 대한 복소함수로 정리합니다

아래의 제 유튜브 채널에서 미적분학, 벡터미적분 관련 설명영상도 올리고 있습니다

사람의 삶의 공간이 직선으로 연결되지 않듯이 길도 직선일 수 없다

로 구성된 매개변수 방정식이 있다고 합시다

적어 놓고 시작하는 것도 실수를 줄일 수 있는 방법입니다

공식에 있는 적분 자체가 어렵기 때문이다

미분해서 제곱하여 공식에 대입하면 됩니다

로 나타냅시다. 그러면 피타고라스 정리에 의해서 빗변곡선에 최대한 근사한 직선은 저 둘의 제곱의 합의 루트를 씌운게 됩니다. 그렇죠?

식을 증명하는 방법을 보도록 하겠습니다

임의의 구간위에서 정의된 연속벡터함수의 치역을 정의로 하고 있기 때문이죠

여기서 평균값 정리의 내용이 들어갑니다!

다음과 같은 방식으로 적분을 해주시면 되겠습니다

x 과 y 각각은 t에 관해 미분하였습니다

위 공식이 이제 우리가 일반적으로 아는 미적분학에서의 곡선의 길이 공식입니다. 왜 이렇게 나왔는지 증명을 한번 해봅시다

이렇게 나타냈습니다. 저기 스타는 표본점을 의미합니다. 이제 전체의 곡선의 길이로 나타내기 위해서 우리는 극한을 취해줄 것입니다

제가 간단하게 그린 yfx 그래프입니다!

A와 B의 좌표를 이용해서 선분 AB를 표현해봅시다

극방정식으로만 나올 때는 조금 다르게 풉니다

직각삼각형에서의 피타고라스 정리를 이용 하시면 되어요

고등학교 때 배웠던 곡선의 길이를 호의 길이arc length라고 한다

임의의 점 A를 x, fx 라고 놓구요. 점 B를 x+x, fx+x 라고 놓겠습니다

ax0, bxn이라고 놓고 생각해보겠습니다

위 아래 문제들 속도 가속도 문제들 전부 복소해석학으로 풀이 올리고 싶네요

이곳과 저곳을 잇는 것. 그것이 오래된 길의 정의다

을 떠올려보면, 결국 이것도 매개변수 방정식입니다

두 점 사이에 있는 임의의 점을 뜻합니다

위 식이 분할한 곡선의 길이를 리만합한 것입니다

갑자기 벡터미적분학하다가 뜬금없이 호의 길이 증명한 이유는 이게 기초가 되기때문입니다

임의의 구간 x i-1 , x i 에서의 곡선의 길이를 s i 라고 하고 구간 양 끝을 이은 직선의 길이를 d i 라고 한다면 아래와 같다

x가 0으로 갈 때 아래와 같이 근사식을 적용할 수 있습니다

커피와 발효가 잘된 빵 . 같이하면 공부가 잘되네요

점점 참값에 가까운 결과를 얻을 수 있을 것이다

이렇게 나오죠. 근데 우리는 이건 그냥 매개변수로 표현한 곡선의 길이고 위에서 나온 공식은 평균값의 정리를 이용해서 표현한 것입니다

함수 는 매개변수 를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다

곡선은 우리가 이렇게 정의할 수 있습니다. 아주 잘게 쪼갠 x,y의 구간의 제곱의 합에 루트를 씌운 것이요

직교좌표를 복소평면으로 바꾸어, x,y를 복소수 z에 대응시킵니다

정적분도 마찬가지로 해주시면 되겠습니다

여러분은 복소함수를 어떻게 미분하는지 안 배웠지만, 사실은 알고 있습니다